по Математике 3 задание

Константин багрянородный в своих сочинениях «о церемониях» впервые употребил слово «руссия». греки-византийцы произносили русь как руссия. термин «руссия» использовался еще во времена ивана iii, но на тот период не получило своего официального статуса.  сначала было великое княжество московское во главе с иваном iii. 16 января 1547 года после принятия князем иваном iv титула царя было провозглашено царство, а в византийском стиле его называли российское царство. почему именно прижилось название российское царство, а не или руссия – неизвестно, возможно, на изменение названия повлияла река рось, а, быть может, просто было намного легче из-за особенностей артикуляции произносить слово «россия».  «российское царство» было официальным названием нынешней россии до 1721 года. в 1721 году петр i провозгласил российскую империю. во времена его правления термин «россия» окончательно был закреплен. на монетах петра i было выгравировано «царь пётр алексеевич, всея россии повелитель».  собственно в настоящее время название «россия» не выходит за границы самой россии и других восточнославянских стран, так как russia на греческом и латыни звучит как «руссия», в языке произносится «раша». теории о происхождении названия все еще продолжают появляться.

Число делится на 11, если разность суммы  цифр на нечетных разрядах и суммы цифр на четных разрядах  делится на 11. покажем, что число, делящееся на 11, может иметь любую сумму цифр, большую 9. действительно, для любого четного числа   с суммой цифр s> 11 подойдет число из n двоек. для любого нечетного числа выпишем число из s-11 двоек и допишем к нему число 407. (например, для s=11 это будет само 407, для s=13 число 11407, для s=17 число 111111407). легко видеть, что сумма цифр на нечетных разрядах полученного числа на 4+7=11 больше суммы цифр на четных разрядах числа, что и требовалось. теперь рассмотрим произвольное  число с суммой цифр 9 и покажем, что оно не делится на 11. пусть сумма цифр на его четных разрядах равна a, сумма цифр на его нечетных разрядах равна b, a+b=9, оба числа целые неотрицательные.  рассмотрим случай, когда a> b, случай b< a разбирается аналогично. из условий неотрицательности чисел а a и b и равенства a+b=9 следует  двойное неравенство 0< a-b< 11, а значит,  признак делимости на 11 не выполняется. ответ: 9.