Задача. Даны координаты трёх точек А, В и С. Требуется:

1)записать векторы и АС в координатной форме (в системе орт);

2)найти модули векторов , и АС ;

3)найти угол между векторами АВ и АС ;

4) длину медианы АЕ;

5) уравнение прямой АЕ.

6) записать уравнение сферы, для которой АЕ есть диаметр.

А(0; -6; -4), В(-4; -4; 0), С(-10; 5; -2) ​

Рассмотрим плоскость и прямую , заданную точкой и направляющим вектором .

Существует три варианта взаимного расположения прямой и плоскости:

1) прямая пересекает плоскость в некоторой точке ;

2) прямая параллельна плоскости: ;

3) прямая лежит в плоскости: . Да, так вот нагло взяла, и лежит.

Как выяснить взаимное расположение прямой и плоскости?

Изучим аналитические условия, которые позволят нам ответить на данный вопрос. Выполним схематический чертёж, на котором прямая пересекает плоскость:

Прямая пересекает плоскость

Прямая пересекает плоскость тогда и только тогда, когда её направляющий вектор не ортогонален вектору нормали плоскости.

Из утверждения следует, что скалярное произведение вектора нормали и направляющего вектора будет отлично от нуля: .

В координатах условие запишется следующим образом:

Если же данные векторы ортогональны, то есть если их скалярное произведение равно нулю: , то прямая либо параллельна плоскости, либо лежит в ней:

Прямая параллельна плоскостиПрямая лежит в плоскости

Разграничим данные случаи.

Если прямая параллельна плоскости, то точка (а значит, и ЛЮБАЯ точка данной прямой) не удовлетворяет уравнению плоскости: .

Таким образом, условие параллельности прямой и плоскости записывается следующей системой:

Если прямая лежит в плоскости, то точка (а, значит, и ЛЮБАЯ точка данной прямой) удовлетворяет уравнению плоскости: .

Аналитические условия данного случая запишутся похожей системой:

Разборки с взаимным расположением прямой и плоскости достаточно примитивны – всего в два шага. Кроме того, на практике можно обойтись даже без значка системы. Исследование взаимного расположения прямых в пространстве, которое проводилось на уроке Задачи с прямой в пространстве, намного трудозатратнее. А тут всё проще:

Пример 1

Выяснить взаимное расположение прямой, заданной точкой и направляющим вектором , и плоскости .

Решение: Вытащим вектор нормали плоскости: .

Вычислим скалярное произведение вектора нормали плоскости и направляющего вектора прямой: , значит, прямая либо параллельна плоскости, либо лежит в ней.

Подставим координаты точки в уравнение плоскости:

Получено верное равенство, следовательно, точка лежит в данной плоскости. Разумеется, и любая точка прямой тоже будет принадлежать плоскости.

ответ: прямая лежит в плоскости

Пример 2

Выяснить взаимное расположение плоскости и прямой .

Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец оформления и ответ в конце урока.

После небольшой разминки мускулатуры начинаем накидывать блины на штангу:

Основные задачи на прямую и плоскость

Данная задача прям таки вертится в умах человечества, и встречается в практических задачах чаще всего. Когда я приступил к разработке пространственной геометрии, то, начиная с урока Уравнение плоскости, мне даже было немного неловко, что посетители сайта обманывались в своих ожиданиях. Многие задачи уже были, а вот этой ещё нет….

Рассмотрим прямую , которая пересекает плоскость . Требуется найти точку, в которой прямая пересекает плоскость: . Хотел разобрать задачу в общем виде, но передумал… лучше традиционный практический пример:

Пример 3

Дана прямая и плоскость . Требуется:

а) доказать, что прямая пересекает плоскость;

б) найти точку пересечения прямой и плоскости;

в) через прямую провести плоскость («омега»), перпендикулярную плоскости ;

г) найти проекцию прямой на плоскость ;

д) найти угол между прямой и плоскостью .

НеслАбо. А ведь всё началось с единственной точки пересечения =)

Решение: Сначала закрепим задачу о взаимном расположении прямой и плоскости:

а) Из уравнений прямой находим принадлежащую ей точку и направляющий вектор:

Вектор нормали плоскости, как всегда, сдаётся без боя:

Вычислим скалярное произведение:

, значит, прямая пересекает плоскость, что и требовалось доказать.

Как найти точку пересечения прямой и плоскости?

б) Найдём точку пересечения плоскости и прямой: . Не «Чёрный квадрат» Малевича, но тоже шедевр:

Как найти точку пересечения прямой и плоскости?

Δ=хi-x

Измерения выполняют при наличии определенных условий, влияющих на их точность. При этом процесс измерений характеризу­ется рядом факторов, среди которых выделяют: объект измерений, субъект измерений, технические средства, методы измерений и внешнюю среду. Различают следующие погрешности: объекта изме­рений, связанные с изменением измеряемой величины в процессе из­мерений, неоднородностью объекта измерений, его нечеткими гра­ницами; личные, зависящие от квалификации оператора (исполни­теля измерений) и его психологических особенностей; инструмен­тальные, возникающие ввиду невозможности точной юстировки мерного прибора и ограниченности его точности; методы измерений, обусловленные упрощением используемых формул и процессов из­мерения; внешние, обусловленные влиянием температуры, влажно­сти, освещенности, вибрации и других величин. Любой результат из­мерения содержит сложную суммарную погрешность, состоящую из большого количества элементарных погрешностей, порождаемых влиянием перечисленных факторов измерений. Измерения считаются равноточными, если все перечисленные факторы и их влияние на процесс измерений примерно одинаковы в течение всего периода производства измерений. При неодинаковых факторах результаты будут неравноточными. Они также будут неравноточными, если усло­вия измерений, характеризуемые рассмотренными выше пятью фак­торами, будут различаться хотя бы по одному из них.

Все элементарные погрешности измерений классифицируют по двум признакам: источнику происхождения (инструментальные, внешние и личные) и характеру их действия (грубые, систематиче­ские, случайные). Грубыми погрешностями называют такие, которые по своей абсолютной величине превосходят установленный для дан­ных условий измерений предел. Они резко отклоняют результаты из­мерений от действительных значений измеряемых величин и должны обязательно своевременно исключаться. Причиной возникновения грубых погрешностей может оказаться любой из пяти факторов изме­рений. Чаще всего к такого рода погрешностям относятся промахи в измерениях, вызванные невнимательностью наблюдателя, неисправ­ностью инструмента или неучетом влияния внешней среды, которым нельзя пренебречь. Поскольку исполнитель должен своевременно принимать меры к их недопущению, то естественно, грубые погреш­ности следует относить к категории личных. Задача исполнителя со­стоит в организации контроля работ для своевременного устранения из результатов грубых погрешностей. Наиболее действенным мето­дом обнаружения грубых погрешностей является выполнение кон­трольных измерений тем же инструментом или иным, но той же точ­ности. Поэтому измеряемые расстояния откладывают как минимум дважды.

Но в измерениях всегда остаются погрешности иного рода: систе­матические и случайные. Систематические погрешности носят так называемый правильный характер, когда при повторных измерениях они либо остаются без изменений, либо изменяются по какому-то оп­ределенному закону, либо, изменяясь случайным образом, сохраня­ют постоянство своего знака. Соответственно различают три вида систематических погрешностей измерения: постоянные, перемен­ные и односторонне действующие. Так, примером постоянной по­грешности может служить погрешность измерения ширины колеи подкранового пути, вызванная погрешностью компарирования ру­летки, а односторонне действующей — погрешность измерения шири­ны колеи пути, возникающая из-за неперпендикулярности полотна рулетки, оси подкранового пути. Некоторые систематические по­грешности можно устранить из результатов измерения, применив со­ответствующие методы измерений.

Δx=xa-xb необходимо найти площадь, ограниченную кординатами х=a и x=b  

Эта площадь пропорциональна плотности вероятности для интервала Ах.

Если значение случайной величины формируется под действием большого числа взаимно независимых факторов, можно ожидать рас­пределения по так называемому нормальному закону (рис. 3.2). Наи­большая плотность вероятности при нормальном распределении со­ответствует среднему значению х. По мере того как возрастают откло­нения от средней величины, плотность вероятностей быстро убывает. При беспредельном удалении вправо и влево кривая плотности веро­ятностей асимптотически приближается к оси абсцисс. Для дискрет­ных величин определяют дисперсию  

где х — среднее арифметическое значение величины; n — число эле­ментов в выборке.

Если изучается не вся совокупность явлений, а определенная вы­борка, то дисперсию вычисляют по формуле

где m — число выборочных точек, попавших в i-й интервал.  

(-σ...+σ)

(— 3σ... + 3σ)- 0,997

Таким образом, в пределах ут­роенного отклонения в ту и другую сторону от среднего значения рас­полагается более 99 % всех случаев, а именно 997 из 1000.

1212123  

4323

δxsup=tσ