Мистер фокс записал на доске число (9*15-1)^2019 . предварительно посчитав сумму цифр этого числа, мистер фокс стер число с доски и записал вместо него сумму цифр. он продолжал повторять эту операцию до тех пор, пока на доске не осталось однозначное число. какое число осталось на доске?

пусть s(n) - сумма цифр натурального числа. докажем, что [tex]s(n)\equiv n(mod \; 9)[/tex]

пусть [tex]n=\overline{a_na_{n-1}}[/tex]. тогда

[tex]n=a_n*10^n+a_{n-1}*10^{n-1}++a_1*10^1+a_0*10^0=a_n*(9+1)^n+a_{n-1}*(9+1)^{n-1}++a_1*(9+1)^1+a_0\equiv a_n*1^n+a_{n-1}*1^{n-1}++a_1*1^1+a_0(mod\; 9)=a_n+a_{n-1}++a_0=s(n)[/tex]

доказано.

тогда очевидно, что [tex]s(( n(mod\: 9)[/tex], и оставшееся в конце однозначное число дает при делении на 9 тот же остаток, что и исходное число.

[tex](9*15-1)^{2019}\equiv(-1)^{2019}(mod\; 9)=-1\equiv 8(mod\; 9)[/tex]

единственное однозначное число, остаток 8 при делении на 9, - это 8.

ответ: 8