Даны точки a(-1; 2; 4), b(3; 0; -1), c(2,6,1). найти угол b

ответ:

[tex]\alpha = arccos(\frac{26}{3\sqrt{205}})[/tex]

пошаговое объяснение:

обозначим за α угол abc;

найдем векторы ba и bc:

ba = (-4, 2, 5); bc = (-1, 6, 2).

скалярное произведение этих векторов находится как сумма произведений соответственных координат:

[tex](ba, bc) = (-4) * (-1) + 2 * 6 + 5 * 2 = 4 + 12 + 10 = 26.[/tex] с другой стороны, по определению скалярного произедения векторов (ba, bc) = |ba| * |bc| * cos(α). тогда [tex]cos(\alpha) = \frac{(ba, bc)}{|ba|*|bc|} = \frac{26}{\sqrt{16 + 4 + 25} * \sqrt{1 + 36 + 4}} = \frac{26}{3\sqrt{205}}[/tex].

чтобы определить знак угла α, можно было бы найти еще и sin(α), используя "формулу" (в виде определителя она записывается для удобства, но, вообще говоря, такая запись не вполне корректна) [tex][a,b] = det\left[\begin{array}{ccc}i& j& k\\a_{1}& a_{2}& a_{3}\\b_{1}& b_{2}& b_{3}\end{array}\right][/tex], где [a, b] - векторное произведение векторов a и b, [tex]a_{1}, a_{2}, /tex] - координаты векторов a и b, а i, j, k - базисные векторы. но т.к. знак угла между данными векторами нам не важен, то мы можем сразу дать ответ:

[tex]\alpha = arccos(\frac{26}{3\sqrt{205}})[/tex].