Составьте квадратное уравнение с действительными коэффициентами, если известен один из его корней z1=2+i

нам требуется составить квадратное уравнение вида

[tex]az^{2} +bz+c=0[/tex]

где a, b и c - действительные числа

[tex]z_0=2+i[/tex]

допустим мы составляем уравнение (a=1).

тогда по теореме виета

[tex]z_1+2+i=-b[/tex]

[tex](2+i)z_1=c[/tex]

для того, чтобы коэффициент c был действительным, мы можем принять [tex]z_1[/tex] за сопряженное с [tex]z_0[/tex], т.е. [tex]z_1=2-i[/tex].

логично, что для того, чтобы коэффициент b был действительным, требуется чтобы [tex]z_1[/tex] содержал комплексную часть, равную [tex]-i[/tex]. данное условие у нас уже соблюдается.

[tex]b=-(2+i+2-i)=-4[/tex]

[tex]c=(2+i)(2-i)=4-(-1)=5[/tex]

теперь мы можем составить уравнение:

[tex]z^{2}-4z+5=0[/tex]

проверка:

[tex]d=16-20=-4=(2i)^{2}[/tex]

[tex]z_0=\frac{4+2i}{2} =2+i[/tex]

[tex]z_1=2-i[/tex]

ответ: [tex]z^{2}-4z+5=0[/tex]