1.при каких действительных a множество пар действительных чисел (x; y) является линейным пространством при условии x−y−5=a? 2.при каких a множество функций f(x), определённых на отрезке [2; 4] и таких, что f(3)=a−4, является линейным пространством 3.при каких a множество, заданное уравнениями x−2y=0,x−2y+1=5z−a, является линейным подпространством

Если не оговорено противное, операции рассматриваются наиболее естественные. 1. сложение и умножение, естественно, предполагаются покоординатные. тем самым наше множество является подмножеством линейного  пространства r^2. поэтому мы должны думать только о том, чтобы линейные операции не выводили из нашего множества. m={(x; y}: x-y-5=a}={(y+5+a; y}, то есть первая координата должна быть на (5+a) больше второй. однако, умножив такую пару на 0, мы получаем пару (0; 0). для нее равенство 0-0-5=a выполняется только если a=  -  5. а тогда m={(y; y)}, что, естественно, является линейным подпространством в r^2 и⇒ само является линейным пространством (сумма пар с равными координатами снова пара с равными координатами. то же самое с умножением на число. 2. умножая функцию, лежащую в нашем множестве, на 0, получаем нулевую функцию, которая всюду (а значит и в точке 3) равна нулю. значит должно выполняться условие a-4=0; a=4. таким образом, теперь имеем функции, равные нулю в точке 3, а тогда их сумма и произведение на число снова равны 0 в точке 3. 3. здесь m является подмножеством в r^3. аналогично п.1, умножая любой элемент из m на 0, получаем нулевой набор. он удовлетворяет данной системе уравнений, если 0-0=0 (выполнено) и 0-2·0+1=5·0-a, то есть a=  -  1.    система уравнений превращается при этом в линейную однородную систему  x-2y=0; x-2y-5z=0,  для которой множество решений конечно является линейным пространством. ответ: 1. a=  -  5; a=4; a= - 1 замечание. необходимо каждый раз проверять, что множество непусто. в этих трех случаях непустота очевидна (в первом и третьем примерах там лежит нулевой набор, во втором - нулевая функция)