Скласти рівняння кола з центром О(4;1) і радіусом 5.

как это ни удивительно - доказательство есть уже в самой формулировке теоремы. 

поскольку радиус перпендикулярен прямой, то его конец - это ближайшая от центра окружности точка на прямой. все остальные точки прямой находятся от центра на большем расстоянии, поскольку наклонная всегда длинее перпендикуляра.

поскольку точки окружности равноудалены от центра, то все точки прямой, за исключением конца радиуса, лежат за пределами области, ограниченной окружностью (по-просту - дальше от центра).

есть только одна общая точка - это конец радиуса. а это и есть касание, когда у окружности и прямой только одна общая точка. : )  

трапеция абсд, вс и ад - основания аб перпендикулярна вс и ад  точки касания окружности на аб - к, на бс - н, на сд-м и на да - л  центр окружности о. ос = 15, од = 20  угол с+уголд = 180 т.к. вс и ад параллельны  из д две касательные ад и дс значит од - биссектриса угла д, аналогично ос биссектриса угла с  получаем что в треугольнике осд угол осд+угол одс = 90 следовательно угол сод = 180-90=90 значит треугольник осд - прямоугольный. найдем по теореме пифагора сд = корень(ос*ос+од*од) = 25  треугольник смо и сод подобны (по равенству двух углов угол осм - общий, угол сод = 90 угол омс = 90 (угол между радиусом и касательной)) ом/ос = од/сд отсюда ом = од*ос/сд = 15*20/25 = 12 это наш радиус  аб = 2r, бн=бк =r (как две касательные из одной точки) также нс=мс, мд=лд, ал=ак = r  найдем половину периметра = (4r+2*сд)/2 = 2r+сд = 24+25 = 49  радиус вписанной окружности по формуле равен r=s/p где s -площадь многоугольника p- полупериметр отсюда s=p*r = 49*12 = 588