В кубе ABCDA1B1C1D1точки K и F - середины ребер A1B1 и B1C1 соответственно. M и P – точки пересечения диагоналей граней A1D1DA иDCC1D1 соответственно.
Заполните таблицу, указав градусные меры углов между данными прямыми.

Вправильном октаэдре есть три плоскости диагональной симметрии. на рисунке это авсд, аесн и bedh. все   они квадраты со стороной а. все грани октаэдра - правильные треугольники. в треугольнике аве ек - высота и медиана, точка р - центр треугольника, значит ер: рк=2: 1  ⇒ ер: ек=2: 3. рт║км, значит треугольники екм и ерт подобны. в них рт/км=ер/ек=2/3, рт=2км/3=2а/3. на втором рисунке изображена вершинная проекция из вершины е на плоскость авсд. точки р, r, t, s - центры боковых граней. боковые грани - правильные треугольники, значит prts - квадрат и грань куба. сторона куба b=ps=pt/√2=a√2/3. рассмотрев проекции на другие диагональные сечения, сделав такие же построение, можно убедиться, что наш кубик действительно куб.  можно доказать это по-другому (не обязательно). если предположить, что вписан действительно куб, то fo - половина его высоты.  ео²=ек²-ко²=3а²/4-а²/4=а²/2, ео=а/√2=а√2/2. в подобных треугольниках ept и ekm fo=eo/3=а√2/6. высота кубика: 2fo=a√2/3=b. доказано. объём октаэдра: vo=2·sh/3=2·ab²·eo/3=2a²·a√2/6=a³√2/3. объём куба vк=b³=2a³√2/27. vo: vк=а³√2·27/(2а³√2·3)=9/2=9: 2.   соответственно отношение объёма хрустальной и серебряной частей 7: 2 - это ответ.

Подобного рода решаются одинаково. если две  хорды  окружности ав и   cd пересекаются  в точке   е,  то произведение отрезков одной  хорды  равно произведению отрезков другой  хорды: ае•ве=се•ed.длина отрезков, на которые в точке пересечения делится cd, не указана, но дано их отношение   ce : de = 2: 4  примем коэффициент отношения  ce : de равным k.  тогда 5•25=2k•4k125=8k² √125=√8a² 5√5=2a√2⇒ тогда се=2•1,25•√10=2,5√10 ed=4•1,25√10=5√10 cd=5√10+2,5√10=7,5√10