Із вершини B паралелограма ABCD до сторони AD проведено висоту BH. Знайдіть кути паралелограма, якщо AH = BH і: a) кут B - тупий; б) кут B - гострий. Геометрія​

1. По заданным катетам а и b определить биссектрису прямого утла.

Решение.

S S S ; ∆ABC = ∆BCD + ∆ACD

sin 45 ; 2

1 sin 45

2

1

2

1 = ° + ° ab alc blc

ab l sin 45 (a b); = c ° +

( ) . 2

sin 45 a b

ab

a b

ab lc + = + ° =

2. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположный

катет на отрезки длиной 4 и 5 см. Определить площадь треугольника.

Решение.

5

4 = c

b (на основании свойства биссектрисы внутреннего

угла треугольника).

Но ; 81 2 2

c − b =

12,

5

4

81, 2 2

⇒ =











=

− =

b

c

b

c b

9 12 54 см . 2

1

2

1 S 2 = ab = ⋅ ⋅ =

3. Найти площадь прямоугольного треугольника, если даны радиусы R и r описанного и

вписанного в него кругов.

Решение.

Известно, что в прямоугольном треугольнике

. 2

1

a + b = 2R + 2r, S = ab

Возведем в квадрат:

2 ( ) 2 2 , 4S 4( ) , 2 2 2 2 2

a + b + ab = R + r c + = R + r

но 2 , 4 4S 4( ) , S 2 . 2 2 2

c = R R + = R + r = Rr + r

4. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, делит треугольник

на два треугольника с площадями 384 и 216 см2

. Найти гипотенузу.

Решение.

, 2

1

2

1 c ab = ch

, 2 600 1200

hc hc hc

ab

c = ⋅ = =

216 384. 4

1

384, 2

1

216, 2

1

2 = ⋅

=

=

×

c c c

c c

c c

a b h

b h

a h

Но 216 384, 4

1 , , 2 4 = = = ⋅ hc acbc hc acbc hc

50 см. 24

1200 4 6 66 6 4 4 4, 4 6 24, 4 hc = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ hc = ⋅ = c = =

5. В треугольнике известны длины двух сторон — 6 и 3 см. Найти длину третьей

стороны, если полусумма высот, проведенных к данным сторонам, равна третьей высоте.

Решение.

а=6см, b=3см, , 2 , 2 c a b c

a b h h h h h h = + = +

, 4. 2

3

1

6

1 , 1 1 2 , 2S 2 2S 2S

+ = + = + = c = a b c a b c c

6. Трапеция разделена диагоналями на четыре части. Определить ее площадь, если

известны площади ее частей, прилежащих к основаниям S1 и S2.

Решение.

1. S3 = S4 (доказать самостоятельно).

2. sin α, 2

1 S1 = BM ⋅ MC ⋅

sin α, sin( ) 180 α sin α, 2

1 S2 = AM ⋅ MD ⋅ ° − =

sin α. 4

1 S S 2

1 2 = AM ⋅ BM ⋅ MC ⋅ MD ⋅

3. sin α, 2

1 S3 = AM ⋅ BM ⋅ sin α, 2

1 S4 = CM ⋅ MD ⋅

sin α S S S S , 4

1 S S 1 2 3 4

2

3 4 = AM ⋅ BM ⋅ MC ⋅ MD ⋅ ⇒ =

S S S S , S S S 2 S S ( S S ) .

2

3 = 4 = 1 2 ABCD = 1 + 2 + 1 2 = 1 + 2

7. Стороны треугольника 13, 14, 15см. Определить площадь и радиусы описанной (R) и

вписанной (r) окружностей.

Решение.

( )( )( ) 21, 2

13 14 15

2

S , = + + = + + = − − − = a b c

p p a p b p c p

S 21 8 7 6 3 7 2 2 2 7 2 3 2 2 3 7 84с ,

2 = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = м

м

p

r

abc R 4с

21

S 2 2 3 7

см 8

65

4 2 2 3 7

13 14 15

4S = ⋅ ⋅ ⋅ = = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ = =

8. По трем высотам треугольника ha, hb, hc вычислить его площадь.

Решение.

S = p( )( )( ) p − a p − b p − c =

= + − ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + + = 2 2 2 2

a b c b c a a c b a b c

= 















+ − 















+ − 















+ − 













 = + +

a b c b c a a c b b b c h h h h h h h h h h h h

S S S S S S S S S S S S

, 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S2

















+ − 















+ − 















+ − 













 = + +

a b c b c a a c b b b c h h h h h h h h h h h h

, 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

S

1

















+ − 















+ − 















+ − 













 = + +

a b c b c a a c b b b c h h h h h h h h h h h h

. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S

2

1 −

































+ − 















+ − 















+ − 













 = + +

a b c b c a a c b b b c h h h h h h h h h h h h

Обозначим эти пропорции как 1х, 2х, 5х. Зная, что сумма углов треугольника составляет 180°, составляем уравнение:

х+2х+5х=180

8х=180

х=180÷8

х=22,5°. Первый угол=22,5° Теперь найдём остальные углы:

22,5×2=45° - это второй угол

22,5×5=112,5°- это третий угол

Задача 4:

Пусть угол при основании будет "х", тогда угол вершины будет = х+60. Зная, что сумма всех углов треугольника равна 180°, составляем уравнение:

х+х+(х+60)=180

2х+х+60=180

3х+60=180

3х=180-60

3х=120

х=120÷3

х=40; каждый угол при основании =40°; угол вершины=40+60=100°

Задача с треугольником 1:

В прямоугольном треугольнике угол А= 180-90-30=60°, угол А=60°

Так как катет АВ лежит напротив угла С, который =30°, то АВ= половине гипотенузы, значит гипотенуза АС в 2 раза больше АВ, из этого следует что АС= 11×2=22(см). Итак: АС=22см; угол А=60°

Задача с треугольником 2

Рассмотрим ∆ЕСК. Если медиана КР является ещё и высотой, значит этот треугольник равнобедренный и КР будет также и биссектрисой, которая разделит угол К пополам, и каждый угол будет по 45°. Если он равнобедренный, то КС=КЕ=14см. Найдём по теореме Пифагора гипотенузу ЕС:

14²+14²=196+196=√196×√2=14√2. ЕС=14√2см

Так как медиана КР делит сторону пополам, и являясь биссектрисой, делит угол, то ∆КЕР=∆КСР; стороны ЕР=РС=КР = 14√2÷2=7√2; КР=7√2(см)