S abcd - правильная четырёхугольная пирамида, все рёбра которой равны 3 корней из 2. Точка Т - середина ребра SC, точка М лежит на прямой ВС так, что В - середина МС. Через точки А; T; M проведена плоскость. Найти сумму квадратов всех сторон сечения пирамиды плоскостью АТМ.

Медиана ад делит угол вас (угол а) на 2 угла: угол вад (обозначим его угол а1) и угол сад (обозначим его угол а2). так как медиана ад в два раза меньше стороны вс, то ад = вд и ад = дс поэтому треугольник авд равнобедренный, ад = вд, угол а1 = угол в треугольник адс равнобедренный, ад = дс, угол а2 = угол с из этого следует, что угол а1 + угол а2 = угол в + угол с (1) в треугольнике авс сумма углов = 180 гр : угол а + угол в + угол с = 180, но угол а = угол а1 + угол а2,поэтому угол а1 + угол а2 + угол в + угол с = 180 используя уравнение (1), получаем угол а1 + угол а2 + угол а1 + угол а2 = 180 или 2*(угол а1 + угол а2) = 180 или 2* угол а = 180, то есть угол а = 90

S(трап) = 1/2(осн1 + осн 2) * высота; основания есть, высоту надо найти. предлагаю, обозначения авсд - данная трапеция, (рисуем картину),  ав=13 см сд=15 см вс=5 см,  ад=19 см s( решение пусть х см   = отрезок ан, ( вн -  высота, опущенная  из вершины в трапеции); тогда (19-5-х) = 14-х  см   = рд ( ср  высота, опущенная из вершины    с).  так как треугольник авн ( уг н=90*) и тр дср (уг  р=90*) прямоугольные и высоты в трапеции равны, то выразим высоту трапеции  (вн =ср) по теореме пифагора из двух   указанных  треугольников, получаем уравнение: 169-х^2=225-(14-x)^2 169-x2=225-196+28x-x2 28x = 140 x=5 сторона ан треуг авн по т пифагора к тр авн найдем вн, получаем: вн=√(169-25) =  √144 = 12 см - высота трапеции s(abcd)= 1/2 * (bc+ad) * bh s(abcd) = 1/2 * 24 * 12 = 12*12 = 144 кв см