Двугранный угол равен 60°. На одной грани двугранного угла дана точка B, расстояние от которой до ребра равно 20 см. Чему равно расстояние от точки B до второй грани двугранного угла?

Рассмотрим  δabc. так как  ∠а=∠в,  δabc-равнобедренный. по теореме о сумме углов треугольника:   ∠с=180°-∠а-∠в=180°-90°=90°, т.е.  δabc-прямоугольный. расстоянием от точки с до прямой ав является высота сd.  так как в равностороннем треугольнике высота является и биссектрисой, и медианой  то  ∠с разделен пополам,  ∠bcd=∠acd=45°, тогда  δbcd-равнобедренный прямоугольный. следует, bd=cd=ab/2=19  см/2=9,5 см. bc=ac (δabc-равнобедренный). по теореме пифагора: bc^2=bd^2+cd^2=90,25 см^2+90,25 cм^2=180,5 cм^2; вс=√180,5 см^2=9,5√2 см.

Мы касаемся в этой интересного круга , связанных с треугольником, у которого один из углов равен 60°. оказывается, у такого треугольника (хотя в этой это и не потребуется), центр описанной окружности, центр вписанной окружности, ортоцентр (то есть точка пересечения высот), а также две  вершины лежат на одной окружности, которая получается из описанной симметрией относительно стороны треугольника.  возвращаемся к нашей . вспоминаем формулу, по которой ищется угол между биссектрисами двух углов треугольника. он равен 90°+ половина третьего угла (доказывается это просто, если вы знаете, чему равна сумма углов треугольника, вы с этой справитесь). в нашем случае угол между биссектрисами aa_1 и bb_1 будет равен 90+30=120°. замечаем, что  ∠a_1hb_1+∠c=180°  ⇒ вокруг четырехугольника ca_1hb_1 можно описать окружность.    остается вспомнить, что биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке  ⇒ch делит угол a_1cb_1 пополам, а тогда дуги, на которые опираются эти половинки, равны, а тогда и хорды a_1h и b_1h равны, что и требовалось.