. Катет прямоугольного треугольника равен 8 см, а его проекция на гипотенузу равна 4 см. Найдите площадь треугольника.

дан равнобедренный треугольник авс, где ав=ас=13. 

в условии не указано,  положение  т.d: на вс или на её продолжении, поэтому имеет два решения. 

1) d расположена между в и с 

и  делит основание вс  равнобедренного ∆ вас на отрезки bd=18 и cd=6

вс=18+6=24.

ан - высота равнобедренного треугольника, значит, и медиана. вн=сн=24: 2=12.

∆ авн – прямоугольный, в котором  отношение катет: гипотенуза=12: 13. это отношение сторон треугольника из пифагоровых троек, где катеты и гипотенуза – целые числа. 

второй катет ан=5. ( можно вычислить по т.пифагора).

ан - общая высота для ∆ авс и асd, проведенная из а к основанию. 

s=a•h: 2

s=6•5: 2=15 (ед. площади)

2) d расположена на продолжении вс. 

тогда вс=вd-dc=18-6=12 

высота ан для ∆ вас и ∆ adc - общая. отношение площадей треугольников с равными высотами равно отношению длин их оснований. 

cd: ac=6: 12=1/2 =>

ѕ(adc)=s(abc): 2

по ф.герона s(∆)=√(p•(p-a)(p-b)(p- где р - полупериметр треугольника, a, b и с - его стороны

ѕ(вас)=√(19•6•6•7)=6√133 

s(adc)=3√133 ≈ 34,6 (ед. площади)

проводим высоты в треугольниках ак и дк, они соединятся о дной точке к, вс - основание одно для двух. вк = вс, в равнобедренном треугольнике высота=медиане, биссектрисе

дк = корень (вд в квадрате - вк в квадрате  )= корень (676-576) =10

ак = корень (ав в квадрате - вк в квадрате  )= корень ( 900- 576) = 18

в треугольнике акд угол акд находим по теореме косинусов

ад в квадрате = дк в квадрате + ак в квадрате - 2 х ак х дк х cos угла акд

(2 х корень61)в квадрате = 10 в квадрате + 18 в квадрате - 2 х 10 х 18 х cos угла акд

244 = 100 + 324 -360 х cos угла акд

cos угла акд = 180/360=1/2, что соответствует углу 60 град.