. В основании параллелепипеда лежит квадрат со стороной 3см, боковое ребро равно 5√2 см и образует с двумя смежными ребрами углы по 45°. Найдите объем параллелепипеда.

Площадь меньшего основания s1=2·2=4 см², площадь большего основания s2=8·8=64 см³. все боковые грани равны. вычислим одну из боковых граней, это равнобедренная трапеция, основания которой 2 см и 8 см. рассмотрим трапецию. проведем в ней две высоты из верхних вершин. нижнее основание будет разделено при это на три части: 3 см, 2см, 3 см. рассмотрим прямоугольный треугольник гипотенуза которого равна 15 см, а один из катетов 3 см. другой катет будет 4 см. это будет высота трапеции 9боковой грани). высота трапеции равна s3=0,5(2+8)·4=20 см². площадь боковой поверхности пирамиды равна s4=20·4=80 см². полная поверхность пирамиды равна 4+64+80=148 см².

Впараллелограмме авсд угол а - острый, ас - большая диагональ. в тр-ке авр ав²=ар²+вр²=9²+12²=225, ав=15 см. s=вс·вр  ⇒ вс=s/вр=300/12=25 см. s=ав·вс·sinb  ⇒ sinb=s/(ав·вс)=300/(15·25)=0.8 сos²b=1-sin²b=1-0.8²=0.36, cosb=-0.6 (∠в тупой, значит cosb< 0). по теореме косинусов в тр-ке авс  ас²=ав²+вс²-2·ав·вс·cosb=15²+25²-2·15·25·(-0.6)=1300. ас=√1300=10√13 см. р(авс)=ав+вс+ас=15+25+10√13=10(4+√13)≈76.1 см - это ответ. если принять, что угол в острый, то по т. косинусов ас²=ав²+вс²-2·ав·вс·cosb=15²+25²-2·15·25·0.6=400, ас=20 см (теперь это малая диагональ параллелограмма). р(авс)=ав+вс+ас=15+25+20=60 см - это ответ.