Из вершины прямоугольника проведён перпендикуляр к его плоскости. Найти длину перпендикуляра, если расстояния от его верхнего конца до других вершин прямоугольника равны а ,b, c.

1) если внешний угол в равен 138, то соответственно внутренний будет равен 42 т.к(180-138=42), это равнобедренный треугольник,значи 2 стороны равны, и два угла тоже будут равны, отсюда, 180-42/2=69, угол с равен 69

2) нарисуй равнобедренную трапецию авсд( у нее боковые стороны равны) проведи высоту из угла в, назовем эту точку о, и проведем еще одну высоту из угла с, назовем эту точку к. растояние от точки о до к теперь равно 9, а по скольку это равнобедренная трапеция, то отрезок ао будет равен 3 т.к(15-9/ треугольник аво, угол а=45, отсюда, угол аворавен тоже 45 градучам, значит это ранвобедренный треугольник, ао=во, отсюда высота равна трем.

3) здесь равнобедренный треугольник значит углы а и в равны, отсюда угол с равен 38+38=76, 180-76=104. угол с=104

обозначим концы отрезков, как указано на рисунке. вычислим длину каждого отрезка и площадь каждой получившейся трапеции

длины отрезков обозначены в рисунке.

они и основания, и средние линии между двумя основаниями бóльших трапеций. 

s асдв=h(6,5+8): 2=0,5h·14,5

s секд= h(5+6,5): 2=0,5 h·11,5

s емнк=h((5+3,5): 2=0,5h·8,5

s морн=h(3,5+2): 2=0,5h·5,5

сумма площадей трех верхних трапеций

s сорв =3h·8,5: 2=h·12,75

площадь нижней -

s асдв = h·14,5: 2=h·7,25s сорв > s асдв

что касается этого:   в) укажите какие-нибудь значения оснований (вместо чисел 2 и 16), чтобы ответом на пункт б) было словосочетание «они равны» - надо подумать.

возможно, ошибаюсь, но думаю, что при таком делении трапеции таких сторон не найти.