Определите ,лежат ли точки a(1; 2; 3),b(4; 5; 6) и c(2; 3; 4) на одной прямой?

Точка пересечения высот ВК и РН треугольника ВЕР является центром вписанного в него круга докажите что треугольник ВЕР равносторонний.

Объяснение:

Дано: ВК⊥ЕР, РН⊥ВЕ О- точка пересечения высот, О-центр вписанной окружности.

Доказать:  ΔВЕР-равносторонний.

Доказательство.

1)Центр вписанной окружности треугольника - точка пересечения биссектрис треугольника ⇒ВК, РН- биссектрисы.Обозначим ∠ЕВК=∠КВР=х,   ∠ЕРН=∠НРВ=у.

Тогда в ΔВОР  , ∠ВОР=180-х-у.

В четырехугольнике ЕНОК сумма углов 360°⇒∠НЕК=360-90-90-∠ВОР,   ∠НЕК=180-180+х+у, ∠НЕК=х+у.

ΔВЕК-прямоугольный, х+(х+у)=90°, по свойству острых углов,  у=90°-2х.

ΔРЕН-прямоугольный, у+(х+у)=90° ,по свойству острых углов. Подставим 90°-2х+(х+90°-2х)=90° ⇒х=30°.

Найдем у=90°-2х⇒у=30°.

Найдем углы ∠ЕВК=∠КВР=х ⇒∠ЕВР=60°  

∠ЕРН=∠НРВ=у ⇒∠ЕРВ=60°.

∠НЕК=х+у⇒∠НЕК=60°. ΔВЕР-равносторонний.

6 ед.

Объяснение:

В правильной усеченной пирамиде в основаниях лежат правильные многоугольники, стороны которых соответственно равны между собой. Боковые грани такой пирамиды - равные между собой равнобокие трапеции. Радиусы окружностей, вписанных в основания, проведенные в точки касания сторон оснований с соответственной окружностью Н и Н1, перпендикулярны к сторонам оснований по свойству радиусов, проведенных в точки касания.

Проведем перпендикуляр из точки касания Н1М верхнего основания на нижнее основание. Тогда отрезок Н1Н перпендикулярен стороне основания АВ по теореме о трех перпендикулярах, то есть является искомой высотой боковой грани.

В прямоугольном треугольнике НН1М угол ∠НН1М = 30° по сумме острых углов. Следовательно, НН1 = 2·НМ по свойству катета, лежащего против угла 30°.

НМ = ОН - О1Н1 = 8-5 = 3 ед.

Высота боковой грани НН1 = 6 ед.