1. в правильной пирамиде площадь основания составляет 1/3 площади полной поверхности. найти двугранный угол при основании пирамиды. 2. в правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро образует со стороной основания угол β. отрезок, который соединяет центр вписанной в боковую грань окружности с вершиной основания этой грани, равен 1. определить боковую поверхность пирамиды.

1. в правильной пирамиде площадь основания составляет 1/3 площади полной поверхности. найти двугранный угол при основании пирамиды.  примем длину стороны a основания за 1, периметр р = 3а = 3.тогда площадь основания so = a²√3/4 =  √3/4. площадь полной поверхности s =3so = 3√3/4. площадь боковой поверхности равна:   sбок = s - so = (3√3/4) - (√3/4) = 2√3/4 =  √3/2. а так как sбок = (1/2)ра, то апофема а равна:   а = 2sбок/p = 2*(√3/2)/3 =  √3/3. высота основания h = a*cos30° = 1*(√3/2) =  √3/2. проекция апофемы на основание в правильной треугольной пирамиде равна (1/3)h =  √3/6. двугранный угол между боковой гранью и основанием равен плоскому углу  α между апофемой и её проекцией на основание. cos  α = ((1/3)h/a) = (√3/6)/(√3/3) = 3/6 = 1/2. α = arc cos(1/2) = 60°. 2. в правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро образует со стороной основания угол β. отрезок, который соединяет центр вписанной в боковую грань окружности с вершиной основания этой грани, равен 1. определить боковую поверхность пирамиды.заданный отрезок длиной 1 - это часть биссектрисы угла боковой грани при основании от вершины до пересечения с апофемой.сторона а основания равна: а = 2*1*cos(β/2) = 2cos(β/2). периметр основания р = 4а = 8cos(β/2). апофема а равна: а = (а/2)*tgβ = cos(β/2)*tgβ. тогда sбок = (1/2)ра = (1/2)*(8cos(β/2))*(cos(β/2)*tgβ) = 4cos²(β/2)*tgβ (можно заменить функцию половинного угла на целого, но формула получится  более громоздкая).