Докажите, что сумма квадратов двух медиан прямоугольного треугольника, проведённых к катетам равна 5/4 квадрата гипотенузы

пусть авс - исходный треугольник, с - вершина прямого угла, а ае и вd - медианы.

пусть  вс = а, ас = b.  тогда по теореме пифагора

вd² = bc² + cd² = a² + (b/2)² = a² + b²/4

ae² = ac² + ce² = b² + (a/2)² = b² + a²/4

следовательно 

bd² + ce² = a² + b²/4 + b² + a²/4 = 5/4 * (a² + b²) = 5/4 * ab²