Рассматриваются все треугольники авс, в которых ав=5, вс=7. найдите наибольшую длину высоты ан из всех высот, опущенных из вершины а.

Сумма двух соседних сторон треугольника равна половине периметра, то есть, 62/2=31. обозначим соседние стороны треугольника за x и 31-x. рассмотрим прямоугольный треугольник, состоящий из двух соседних сторон прямоугольника и его диагонали. по теореме пифагора, x²+(31-x)²=25², 2x²-62x+961=625, 2x²-62x+336=0, x²-31x+168=0. решим это квадратное уравнение: d=31²-168*4=289, x1=(31-17)/2=7, x2=(31+17)/2=24. значит, стороны прямоугольника равны 7 и 24 (во втором случае 24 и 7, что одно и то же). площадь прямоугольника равна произведению сторон, то есть, 7*24=168.

1) опускаем сторону к основанию - падает в середину, получается 2 одинаковых прямоуг. треуг, по т-ме пифагора высота = (под корнем) 100 - 36 = 8  s = 1/2*12*8=48 (см кв.)  2) опускаем высоту из вершины с углом 150гр., получается прямоуг. треуг. с углом в 150-90=60 град., 12 - гипотенуза, то т.к. высота лежит напротив угла в 30град, она будет равна половине гипотенузы = 6, отсюда s= 16*6 = 96.  то же самое, если поменять стороны местами (высота = 16/2 = 8, а s = 12*8 = 96 см.кв.)  3) аналогично опускаем высоты на большее основание, получаем прямоуг. со сторонами 10, h, 10, h  основание поделено 5: 10: 5,  отсюда высота = 169 - 25(корень) = 12  s треуг. = 2*1/2*5*12 = 60  s прямоуг.= 10*12=120  s трап.= 60 + 120 = 180