Даны полоса с краями х и у, прямая к, принадлежащая полосе. постройте ромб авсд так, чтобы его вершины а, в, с принадлежали соответственно прямым х, у, к и угол авс=60 градусов

Очевидно, все сводится к построению равностороннего треугольника abc с вершинами на параллельных прямых x, y, k соответственно. 1) возьмем произвольную точку a на х и построим равносторонний треугольникк amn так, что m лежит на x, а n на y. пусть c - точка пересечения mn c прямой k. 2) проведем серединный перпендикуляр к ac. пусть он пересечет прямую y в точке b. тогда построенный треугольник  abc - равносторонний. докажем это.  опишем вокруг треугольника acn окружность, которая пересекает прямую в точке b₁ (потом докажем что b₁ совпадает с b). тогда ∠ab₁c=∠anc=60° и ∠b₁ca=∠b₁na=60° как вписанные. т.е. треугольник  ab₁c - равносторонний. но так как существует только один равнобедренный треугольник  с основанием ac и вершиной лежащей на (это наш построенный abc), то b₁ совпадает с b.