Знайдіть значення коефіцієнту при a2

.

Решение:   1) область определения (-∞; ∞)  2) множество значений функции (-∞; ∞)  3) проверим является ли функция четной или не четной:   y(x)=1/6x³-x²+1  y(-x)=-1/6x³-x²+1, так как у (-х) ≠-у (х) у (-х) ≠у (х) , то функция не является ни четной ни не четная.  4) найдем нули функции:   при х=0; у=1 - график перечекает ось ординат в точке (0; 1)  при у=0 получаем уравнение: 1/6x³-x²+1=0  уравнение не имеет рациональных корней.  5) найдем промежутки возрастания и убывания функции а так же точки экстремума:   y'=0.5x²-2x; y'=0  0.5x²-2x=0  0.5x(x-4)=0  x1=0  x2=4  так как на промежутках (-бескон; 0) и (4; бесконеч) y'> 0, то на этих промежутках функция возрастатет.  так как на промежуткe (0; 4) y'< 0, то на этом промежутке функция убывает.  так как при переходе через точку х=4 производная меняет свой знак с - на + то в этой точке функция имеет минимум: у (4 )=64/6-16+1=-13/3  так как при переходе через точку х=0 производная меняет свой знак с + на - то в этой точке функция имеет максимум: у (0 )=1  6) найдем промежутки выпуклости и точки перегида:   y"=x-2; y"=0  x-2=0  x=2  tак как на промежуткe (-бесконеч; 2) y"< 0, то на этом промежутке график функции направлен выпуклостью вверх  так как на промежутке (2; бескон) y"> 0, то на этом промежутке график функции направлен выпкулостью вниз.  точка х=2; является точкой перегиба.  у (2)=8/6-4+1=-5/3  7) проверим имеет ли график данной функции асимптоты^  а) так как функция не имеет точек разрыва, то она не имеет вертикальных асимптот.  проыерим имеет ли она наклонные асимптоты вида y=kx+b:   k=lim (прих-> ∞) (y(x)/x)=lim (прих-> ∞) (1/6x²-x+1/x)=∞  так как предел бесконечен, то наклонных асимптот функция не имеет 

ответ:

1)f'(x)=2x+4[tex]x^{3}[/tex]-9[tex]x^{2}[/tex]

f'(0)=0

2)f'(x)=[tex]-[/tex][tex]\frac{(2x-1)'(2x+3)-(2x+3)'(2x-1)}{(2x+3)^{2} }[/tex]=[tex]\frac{2(2x+3)-2(2x-1)}{(2x+3)^{2} }[/tex]=[tex]\frac{8}{(2x+3)^{2} }[/tex]

f'(2)=[tex]\frac{8}{49}[/tex]

3)f'(x)=([tex]x^{2}[/tex])'[tex]e^{2x}[/tex]+([tex]e^{2x}[/tex])'[tex]x^{2}[/tex]=2x[tex]e^{2x}[/tex]+2[tex]e^{2x}[/tex][tex]x^{2}[/tex]=[tex]2xe^{2x}(1+x)[/tex]

4)f'(x)=[tex]\frac{1}{x^{2}+4 } 2x[/tex]

5)f'(x)=4*2cosx(-sinx)=-4sin(2x)

6)f'(x)=[tex]-[/tex][tex]\frac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{x} })^{2}}*\frac{1}{2\sqrt{x}}=-\frac{1}{\sqrt{1-x}}*\frac{1}{2\sqrt{x}}=-\frac{1}{2\sqrt{x(1-x)}}[/tex]

f'([tex]\frac{\pi }{4}[/tex]=[tex]-\frac{1}{ \sqrt{ \frac{\pi }{4} (1-\frac{\pi }{4})} } =-\frac{4}{\sqrt{ \pi(4-\pi)} }[/tex]