В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О. Докажите, что четырехугольник MNPE, вершинами которого являются середины отрезков OA, OB, OC и OD–параллелограмм.

Посмотрим, сколько чисел (от 1 до 500) делятся на 7 с остатками : 0   -   71 1    -   72 2    -   72 3    -   72 4    -   71 5    -   71 6    -   71 посмотрим, во что превращаются эти остатки при возведении в квадрат: 0→0 1→1 2→4 3→2 4→2 5→4 6→1 теперь найдём пары квадратов остатков, которые в сумме делятся на 7 (выбирая из 0, 1, 2, 4) - это только пары 0, 0. таких чисел( в квадрате 0 по модулю 7) всего 71. значит, всего пар чисел 71 * 71 =  5041 ответ:   5041

                                            скорость        время                      расстояние 1 авт.                                      x                    s/x                                    s 2 авт. (1 половина)            x - 8                s/(2(x - 8))                        s/2 2 авт. (2 половина)              90                  s/(2·90)                            s/2 s/x = s/(2(x - 8))  + s/(2·90) 1/x = 1/(2x - 16) + 1/180 180(x - 8) = 90x + x² - 8x x² - 98x + 1440 = 0 d = 9604 - 5760 = 3844 = 62² x = (98 + 62)/2 = 80        x = (98 - 62)/2 = 18 - не подходит, т.к. по условию скорость больше 75 км/ч ответ: 80 км/ч