решить уравнение .
решение. если раскрыть скобки и подобные слагаемые, то получится уравнение , которое решать весьма сложно. поэтому воспользуемся другим способом: введем новую переменную и решим квадратное уравнение . его корни: и . соответственно исходное уравнение будет равносильно совокупности двух уравнений
или
таким образом, исходное уравнение четвертой степени имеет два корня и .
ответ: , .
пример 2. решить уравнение x3 – 4x2 + 5x –2 = 0.
решение. преобразуем уравнение:
x3 – 4x2 + 5x – 2 = 0; (x3 – 4x2 + 4x) + (x – 2) = 0;
x(x2 – 4x + 4) + (x – 2) = 0; x(x – 2)2 + (x – 2) = 0;
(x – 2)·(x2 – 2x + 1) = 0; (x – 2)·(x – 1)2 = 0.
значит, x – 2 = 0 или (x – 1)2 = 0.
ответ: х = 1 или х = 2.
пример 3. решить уравнение .
решение. данное уравнение можно решать двумя способами.
способ 1. сгруппируем слагаемые следующим образом:
.
уравнение не имеет решений, поскольку .
таким образом, исходное уравнение имеет единственное решение .
способ 2. так как данное уравнение является и имеет целые коэффициенты, то найдем один его корень подбором среди делителей свободного члена : . легко убедиться, что является корнем уравнения. чтобы найти остальные корни разделим многочлен на двучлен :
получим совокупность двух уравнений , которая решена в способе 1.ответ: .пример 4. найти наибольший отрицательный корень уравнения.решение. подобрать корни данного уравнения весьма сложно, поэтому воспользуемся следующим приемом: домножим (или разделим) данное уравнение на некоторое число так, чтобы старший член уравнения стал кубом некоторого выражения.заметим, что , и введем новую переменную . в результате получим уравнение , равносильное исходному. подбором найдем его корни , и , которым будут соответствовать корни исходного уравнения , и . наибольшим отрицательным корнем является .ответ: .пример 5. найти наименьший корень уравнения.решение. преобразуем исходное уравнение следующим образом: введем новую переменную и получим уравнение . решим полученное уравнение как квадратное относительно или .вернемся к переменной . получили четыре решения исходного уравнения. выберем наименьшее из них. так как , то , поэтому – наименьшее решение.ответ: . пример 6. решить уравнение.решение. введём новую переменную t=2x+1/(3x), тогда получим3t2 + 10t + 7 = 0.корни этого уравнения: t1 = –1, t2 = -7/3. рассмотрим два случая: а) t = –1; 2x+(3x)-1=-1; 6x2 + 3x + 1 = 0; дискриминант меньше нуля – корней нет.б) t=-7/3; 2x+(3x)-1=-7/3; 6x2 + 7x + 1 = 0; х = –1 или x=-1/6.ответ: -1; -1/6. пример 7. решить уравнениерешение. выделим в левой части уравнения полный квадрат и затем с замены переменной сведём его к квадратному уравнению.пусть новая переменная t=x2/(x+2), тогда получим после квадратное уравнение t2 + 4t = 5, корнями которого являются числа 1 и –5.рассмотрим два случая: а) t = 1; ; x2 – x – 2 = 0; x1 = –1 или x2 = 2.б) t = –5; ; x2 + 5x + 10 = 0; решений нет.ответ: -1; 2. пример 8. решить уравнение.решение. преобразуем это уравнение следующим образом: .выполним деление каждой дроби: ; ; . к общему знаменателю и затем числитель: ,.отсюда следует ответ.ответ: 0; -5/2. для самостоятельного решения1. решите уравнения методом разложения на множители: а) x3 + 2x2 + 3x + 6 = 0; б) x4 – 81 = 0; в) x4 + 4x2 – 21 = 0; г) x4 – 8x = 0; д) x4 – 27x = 0; е) x3 – 3x – 2 = 0; ж) x3 – 19x – 30 = 0; з) 2x3 – x2 – 1 = 0; и) 2x4 +x3 – 2x2 – x = 0.2. решите уравнения методом введения новой переменной: а) (x2 – 3x)2 + 3(x2 – 3x) – 28 = 0; б) (x2 + 5x)2 –2(x2 + 5x) = 24; в) (x2 –2 x – 1)2 + 3x2 – 6x – 13 = 0; г) (x2 + x + 1)2 – 3x2 – 3x – 1 = 0; д) ; е) ; ж) .3. решите уравнения методом введения новых переменных (в некоторых уравнениях вначале соответствующим образом сгруппируйте множители, а затем раскройте скобки): а) (2x2 – 3x + 5)2 – 60(2x2 – 3x + 5) = –500; б) (3x2 – x + 1)2 –5(3x2 – x + 1) – 6 = 0; в) (x2 + x + 1)·(x2 + x + 2) = 12; г) (x2 – 2x – 4)·(x2 – 2x – 3) = 2; д) (x + 3)·(x + 1)·(x + 5)·(x + 7) = –16; е) (x + 3)·(x + 1)·(x + 2)·(x + 4) = 3; ж) (x – 2)·(x + 1)·(x – 6)·(x – 3) = 13; з) (x – 2)·(x + 4)·(x + 5)·(x – 3) = 18.4. решите уравнения: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) .5. решите уравнения: а) (x + 2)4 + (x + 4)4 = 82; б) (x – 3)4 + (x + 1)4 = 256; в) (x – 5)4 + (x + 1)4 = 386; г) (x + 5)4 + (x + 3)4 = 16; д) (x –1)5 + (x + 3)5 = 242(x + 1); е) (2x – 3)4 + (2x – 5)4 = 2.6. решите уравнения: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) . ответы
