учи. Ру по алгебра заранее

решить систему уравнений [tex]\left\{\begin{matrix}6x-14y+17z+36t=33, \\ 12x-28y+28z+27t=72, \\ 18x-42y+39z+18t=111\end{matrix}\right.[/tex] и выделить общее решение соответствующей однородной системы и частное решение неоднородной.

решение. выпишем расширенную матрицу системы и будем выполнять элементарные преобразования строк данной матрицы.

[tex]\overline{a} =\begin{pmatrix}\begin{matrix}6 \\ 12 \\ 18 \end{matrix} \ \ \begin{matrix}-14 \\ -28 \\ -42 \end{matrix} \ \ \begin{matrix}17 \\ 28 \\ 39 \end{matrix} \ \ \begin{matrix}36 \\ 27 \\ 18 \end{matrix} \ \begin{matrix}| \\ | \\ |\end{matrix} \ \begin{matrix}33 \\ 72 \\ 111 \end{matrix}\end{pmatrix} \sim[/tex]   [tex]\begin{pmatrix}\begin{matrix}6 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \ \ \begin{matrix}-14 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \ \ \begin{matrix}17 \\ -6 \\ -12 \end{matrix} \ \ \begin{matrix}36 \\ -45 \\ -90 \end{matrix} \ \begin{matrix}| \\ | \\ |\end{matrix} \ \begin{matrix}33 \\ 6 \\ 12 \end{matrix}\end{pmatrix} \sim[/tex]   [tex]\begin{pmatrix}\begin{matrix}6 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \ \ \begin{matrix}-14 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \ \ \begin{matrix}17 \\ 6 \\ 0 \end{matrix} \ \ \begin{matrix}36 \\ 45 \\ 0 \end{matrix} \ \begin{matrix}| \\ | \\ |\end{matrix} \ \begin{matrix}33 \\ -6 \\ 0 \end{matrix}\end{pmatrix}.[/tex]

вычислим ранг данной матрицы: [tex]\text{rg} \ \overline{a} = r = 2 < n = 4,[/tex] где [tex]n[/tex] - число неизвестных. система имеет нетривиальные решения. базисный минор [tex]\begin{vmatrix}-14 \ \ 17 \\ \ \ 0 \ \ \ \ 6\end{vmatrix}.[/tex]

ставим в соответствие расширенной матрице систему:

[tex]\left \{ {\bigg{6x - 14y + 17z + 36t = 33,} \atop \bigg{6z + 45t = -6, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }} \right.[/tex]

где [tex]y, \ z[/tex] - базисные переменные, [tex]x, \ t[/tex] - свободные переменные.

положив значения свободных переменных [tex]x, \ t[/tex] равными нулю, получим частное решение неоднородной системы: [tex]x=0, \ y = -\dfrac{25}{7}, \ z = -1, \ t = 0.[/tex]

[tex]\left \{ {\bigg{6x - 14y = 33-36t-17z,} \atop \bigg{ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ z = \dfrac{-6-45t}{6}; }} \right.[/tex]

[tex]\left \{ {\bigg{6x - 14y = 33-36t-17(-1-7,5t) =50+91,5t,} \atop \bigg{z = -1-7,5t; \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }} \right.[/tex]

[tex]\left \{ {\bigg{y=\dfrac{6x-50-91,5t}{14}, } \atop \bigg{z=-1-7,5t. \ \ \ \ \ \ \ \ }} \right.[/tex]

общее решение: [tex]y = \dfrac{6x-50-91,5t}{14}, \ z = -1-7,5t, \ x \in r, \ t \in r.[/tex]

ответ:   [tex]y = \dfrac{6x-50-91,5t}{14}, \ z = -1-7,5t, \ x \in r, \ t \in r[/tex] - общее решение; [tex]x=0, \ y = -\dfrac{25}{7}, \ z = -1, \ t = 0[/tex] - частное решение.

вероятностью [tex]p(a)[/tex] события [tex]a[/tex] при проведении некоторого испытания называют отношение числа тех исходов [tex]m[/tex], в результате которых наступает событие [tex]a[/tex], к общему числу [tex]n[/tex] всех (равновозможных между собой) исходов этого испытания.

[tex]p(a) = \dfrac{m}{n}[/tex]

случайным событием называется событие, которое при осуществлении некоторых условий может произойти или не произойти.

пусть [tex]a[/tex] - событие, состоящее в том, что из урны, где находится 25 желтых, 15 синих, 10 красных шаров, можно наудачу взять три красных шара.

из 10 красных шаров нужно выбрать 3 (порядок не имеет значения) - это [tex]c^{3}_{10} = \dfrac{10! }{(10-3)! 3! } = \dfrac{10! }{7! \cdot 3! }= \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7! }{7! \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 120[/tex]   способов.

выбрать 3 шара из [tex]25 + 15 + 10 = 50[/tex] (порядок не имеет значения) можно [tex]c^{3}_{50} = \dfrac{50! }{(50-3)! 3! }=\dfrac{50! }{47! \cdot 3! } =\dfrac{50 \cdot 49 \cdot 48 \cdot 47! }{47! \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} =19600[/tex] способами.

следовательно, согласно определению вероятности, вероятность того, что наудачу взятые три шара окажутся красными, будет составлять [tex]p(a) = \dfrac{120}{19600} = \dfrac{3}{490}[/tex].

ответ: [tex]\dfrac{3}{490}[/tex].