Sinx+sin(π+x)-2cos([tex]\frac{\pi }{2}[/tex] +x)=2

1) возьмём числитель первой дроби за x. тогда знаменатель будет равен x+3. первая дробь будет равна если увеличить числитель первой дроби на два и знаменатель на четыре, то вторая дробь будет равна в условии сказано, что вторая дробь больше первой на , значит разность второй и первой дроби будет равна одной восьмой. составим уравнение.

- = чтобы избавиться от дробей умножаем каждое число на (x+7)·(x+3)·8

(x+2)·(x+3)·8 - x·(x+7)·8=(x+7)·(x+3)

(x²+3x+2x+6)·8 - (x²+7x)·8=(x+7)·(x+3)

8x²+24x+16x+48-8x²-56x=x²+3x+7x+21 переносим всё в левую сторону и приравниваем выражение к нулю. , получим:

-x²-26+27=0

d=676+108=784; 28²

d> 0

x1=== -27

x2===1

так как у нас получилось два корня, нужно подставить получившиеся значение в исходное выражение и найти верный ответ.

а) возьмём первый корень, равный -27 и подставим в изначальное выражение.

- =

- =

- =

- =

- = - =

= ⇒ корень -27 подходит. значит изначальная дробь равна ==1

б) возьмём второй корень, равный 1 и подставим в изначальное уравнение

- =

- =

-=

-= ⇒ корень 1 также подходит. значит исходное уравнение равно

так как при проверке оба корня оказались верны, то в ответе будет две дроби.

2)

рассмотрим движение машины в двух случаях: как она должна была двигаться изначально и как она двигалась в итоге. путь, пройденный автомобилем, не изменился. скорость увеличилась на 10 км/ч. так как автомобиль прибыл быстрее запланированного, то разница между временем, затраченным в первом случае, и временем, затраченным во втором случае, будет равна 1 часу. составим уравнение.

- =1 избавимся от дробей, умножив каждое число на x·(x+10)

200·(x+10) - 200x=x²+10x

200x+2000-200x - x²-10x=0

-x²-10x+2000=0 чтобы применить теорему виета умножим каждое число на -1

x²+10x-2000=0

x1+x2= -10

x1·x2= -2000

x1= -20(этот корень неверен, так как скорость не может быть отрицательной)

x2=10(это изначальная скорость автомобиля)

автомобиль должен был двигаться со скоростью 10+10=20 км/ч

отметим известный факт, что сумма первых n натуральных чисел

1+2+3+…+n=n(n+1)/2 (при необходимости этот факт легко доказывается наример по принципу индукции)

33+102=135

135+33=168

168*2=336, 336> 324=18*18, 336< 576=24*24

рассмотрим первые 24 натуральных числа

1, 2, 3,…, 18, 19, 20, 21,22, 23, 24

их сумма 24*(24+1): 2=300

300-135-33=132=3*44

в первой группе должно быть х (44)

во второй группе должно быть х+33 (77)

в третьей группе должно быть х+33+102=х+135 (179)

разобьем пока на равные по общей сумме группы

1, 6, 7, 12, 13, 18, 19, 24

2,5, 8, 11, 14, 17, 20, 23

3,4,9,10, 15,16, 21, 22

перегруппируем

а –группа 1,12,13,18 сумма 44

[2,5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 6,7, 19, 24]

в- группа 2,5, 11, 17, 19 ,23, сумма 77

с –группа 3,4,6, 7, 8,9,10, 14,15,16, 20, 21, 22, 24 сумма 179

далее все числа, начиная с 25 и заканчивая 19921992…1992 (число 1992 повторено 1992 раза) разбиваем по остаткам деления на 6

если остаток от деления числа на 6 будет 1 или 0 (число делиться нацело, кратно 6), то оно попадает в первую группу

если остаток от деления числа на 6 будет 2 или 5 – во вторую группу

если остаток от деления числа будет 3 или 4 – в третью группу.

так как 25 дает остаток 1, а число 19921992…(число 1992 повторено 1992 раза) остаток 0, то у нас не будет неполной партии разбиения на группу из 6 последовательно идущих чисел.

25, 26, 27, 28, 29, 30 – первая группа

19921992…(число 1992 повторено 1992 раза)-5, …., 19921992…(число 1992 повторено 1992 раза) – последняя такая группа из 6

то, что число 19921992…(число 1992 повторено 1992 раза) делиться нацело на 6 следует из признаков делимости на 2 и на 3,

четное (последняя цифра 2) – делиться нацело на 2.

сумма цифр числа 19921992…(число 1992 повторено 1992 раза) равна 1992*(1+9+9+2)=1992*21=1992*7*3 а значит кратна 3, и само число делиться нацело.

2 и 3 взаимно просты, значит число 19921992…(число 1992 повторено 1992 раза) делиться нацело на 6.

при таком разбиение мы получим три группы чисел с равной суммой.

это следует из того, что каждую такую 6-ку чисел можно представить в виде

6k+1, 6k+6 (первая группа), 6k+2,6k+5 (вторая группа), 6k+3, 6k+4 (третья группа), где k-некоторое натуральное число, например для группы 25,26,27,28, 29,30, k=4 и т.д.

суммы в которых попарно равны

12k+7=(6k+1)+(6k+6)=(6k+2)+(6k+5)=(6k+3)+(6k+4)

и окончательно добавив в первую группу чисел – числа группы а, во вторую – числа группы b ? в третью – числа группы с, получим вариант возможного запрашиваемого разбиения всего ряда чисел от 1 до числа 19921992…(число 1992 повторено 1992 раза) с указанным свойством

(так как суммы будут вести себя при сравнение как числа в группах а,в,с )

ответ: можно