Решите уравнение методом пропорции: [tex] \frac{60x}{ {x}^{2 } - 1 } = 3 \times \frac{1}{6} [/tex]​

Неполные квадратные уравнения

Неполные квадратные уравнения – это квадратные уравнения, у которых коэффициент в или коэффициент с равен нулю. Возможно три варианта неполных уравнений:

Коэффициент b=0

Коэффициент с=0

Коэффициенты b=0 и с=0

Рассмотрим каждый из вариантов и решим несколько примеров.

Виды неполных квадратных уравнений

Каждый подвид уравнения решается быстро и Главное владеть навыком преобразования выражения, а именно переносом чисел из одной части тождества в другую и выносом общего множителя за скобку.

Первый случай

Если коэффициент b=0. Тогда формула неполного квадратного уравнения принимает вид:

ax2+с=0ax2+с=0

ax^2+с=0

В таком случае, решение принимает следующий вид:

ax2+с=0ax2+с=0

ax^2+с=0

ax2=−сax2=−с

ax^2=-с

x2=−сax2=−сa

x^2=-с\over{a}

x1=−сa−−−√x1=−сa

x_1=\sqrt{-с\over{a}}

x2=−−са−−−√x2=−−са

x_2= -\sqrt{-с\over а}- обратите внимание, что под корнем может оказаться как положительное, так и отрицательное число. Знак минуса в данном случае указывает на противоположность. В случае, если под корнем в результате получится отрицательное число, то действительных корней уравнение не имеет.

Решим пример:

7x2−28=07x2−28=0

– перенесем 28 в правую часть выражения.

7x2=287x2=28

– разделим обе части выражения на 7.

x2=4x2=4

x1=2x1=2

x2=−2x2=−2

Вот и все решение.

Второй случай

Во втором случае нулю равен будет коэффициент с. Тогда уравнение примет вид:

аx2+bx=0аx2+bx=0

аx^2+bx=0

В этом случае, решение будет выглядеть немного иначе:

ax2+bx=0ax2+bx=0

ax^2+bx=0

x(ax+b)=0x(ax+b)=0

x(ax+b)=0

x1=0x1=0

x_1=0

ax2+b=0ax2+b=0

ax_2+b=0

ax2=−bax2=−b

ax_2=-b

x2=−ba

Решим небольшой пример.

3x2−12x=03x2−12x=0

x(3x−12)=0x(3x−12)=0

x1=0x1=0

3x2−12=03x2−12=0

3x2=123x2=12

x2=123x2=123

x2=4

Этот иногда используется и при решении полных квадратных уравнений. Если уравнение можно свернуть по любой из формул сокращенного умножения, то потом каждую из скобок-множителей можно приравнять к нулю и решить уравнение гораздо быстрее, чем через дискриминант.

Третий случай

Третий случай самый когда b и с равны нулю. В этом случае, оба корня всегда равны 0.

ax2=0ax2=0

ax^2=0

x1=0x1=0

x_1=0

x2=0x2=0

x_2=0

Обратите внимание на то, что в любом случае, для корней квадратного уравнения необходима проверка. Каждый из получившихся корней нужно подставить в исходное уравнение и подсчитать результат.

Для неполных уравнений это особенно важно, потому что все считают их легкими и не акцентируют внимание на подсчетах. Это может привести к разного рода ошибкам. Чаще всего, ученики путают знаки. Вместо + получается – и наоборот. Помните, что знаки это очень важно и за ними нужно следить при переносе и делении чисел. Проверить себя можно и подставив значения в приведенные в статье формулы.

Иногда коэффициент а может быть отрицательным. В этом случае, вам придется делить на отрицательное число. А значит – все знаки выражения поменяются на противоположные. Будьте внимательны в этих скользких моментах.

\sqrt{2x-x^2+1}\geqslant 2x-3\\\\
\begin{bmatrix}
 \left\{\begin{matrix}
2x-3 & \ \textless \  &0 \\ 
2x-x^2+1 &\geqslant  &0 
\end{matrix}\right. \\ \\
 \left\{\begin{matrix}
2x-3 &\geqslant  &0 \\ 
2x-x^2+1 &\geqslant &(2x-3)^2 
\end{matrix}\right.
\end{matrix}

Решим каждую из систем отдельно

\left\{\begin{matrix} 2x-3 & \ \textless \ &0 \\ 2x-x^2+1 &\geqslant &0 \end{matrix}\right.\\\\
2x-3\ \textless \ 0\\
2x\ \textless \ 3\\
x\ \textless \  \frac{3}{2} \\\\
2x-x^2+1\geqslant0\\
-x^2+2x+1\geqslant0\\
D=4+4=8; \sqrt {D}=\sqrt 8=2\sqrt2\\\\
x_{1/2}= \frac{-2\pm2\sqrt2}{-2}= \frac{-2(1\pm\sqrt2)}{-2}=1\pm\sqrt2\\\\
x_1\geqslant1-\sqrt2\\x_2\leqslant1+\sqrt2\\\\
x\in[1-\sqrt2; \frac{3}{2})    

\left \{\begin{matrix} 2x-3 &\geqslant &0 \\ 2x-x^2+1 &\geqslant &(2x-3)^2 \end{matrix}\right. \end{matrix}\\\\\\ 
2x-3\geqslant0\\
x\geqslant \frac{3}{2}\\\\\\
 2x-x^2+1 \geqslant (2x-3)^2\\
2x-x^2+1\geqslant4x^2-12x+9\\
-x^2-4x^2+2x+12x+1-9\geqslant0\\
-5x^2-14x+8\geqslant0\\
5x^2+14x-8\leqslant0\\
D=196-160=36; \sqrt {D}=6\\\\
x_{1/2}= \frac{14\pm6}{10}\\\\
x_1\geqslant0,8\\
x_2\leqslant2\\\\
x\in[ \frac{3}{2};2]  

Итак, имеем:

\begin{bmatrix}
 \left\{\begin{matrix}
x & \textless & \frac{3}{2}\\  \\ 
x &\geqslant  &1-\sqrt2
\end{matrix}\right. \\ \\\\
 \left\{\begin{matrix}
x&\geqslant  & \frac{3}{2}  \\\\
x&\leqslant &2 
\end{matrix}\right.
\end{matrix} \ \Leftrightarrow \begin{bmatrix}
x\in[1-\sqrt2;\frac{3}{2})\\ \\
x\in[\frac{3}{2};2]

\end{matrix}\right. \Leftrightarrow x\in[1-\sqrt2;2]

ответ: x\in[1-\sqrt2;2]

Нажми, чтобы рассказать

Объяснение: